【數學期望常用公式】數學期望是概率論與數理統計中的一個重要概念，用于描述隨機變量在長期試驗中取值的平均趨勢。它在金融、工程、統計分析等多個領域都有廣泛應用。掌握常見的數學期望公式，有助于快速計算和分析隨機變量的期望值。
一、數學期望的基本定義
設隨機變量 $ X $ 的可能取值為 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，對應的概率分別為 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，則其數學期望（記作 $ E(X) $）定義為：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
對于連續型隨機變量，數學期望的計算公式為：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中，$ f(x) $ 是概率密度函數。
二、常見分布的數學期望公式
以下是幾種常見概率分布的數學期望公式，便于查閱和應用：
| 分布名稱 | 概率質量函數/密度函數 | 數學期望 $ E(X) $ |
| 兩點分布（0-1分布） | $ P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p $ | $ p $ |
| 二項分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均勻分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正態分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指數分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 伽馬分布 $ Gamma(k, \theta) $ | $ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)} $ | $ k\theta $ |
三、數學期望的性質
1. 線性性：對任意常數 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：對于兩個隨機變量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 獨立性：若 $ X $ 與 $ Y $ 獨立，則
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 非負性：若 $ X \geq 0 $，則 $ E(X) \geq 0 $
四、總結
數學期望是描述隨機變量“平均”行為的重要工具，適用于離散型和連續型隨機變量。掌握常見分布的期望公式，有助于在實際問題中快速進行概率分析和決策判斷。同時，理解數學期望的性質，可以更靈活地處理復雜隨機變量之間的關系。
通過上述表格和總結，可以系統地了解數學期望的常用公式及其應用場景，為后續的概率計算和數據分析打下堅實基礎。
