【期望與方差公式】在概率論和統計學中，期望與方差是描述隨機變量核心特征的兩個重要指標。期望反映了隨機變量的“平均值”或“中心位置”，而方差則衡量了隨機變量與其期望之間的偏離程度。以下是對常見隨機變量的期望與方差公式的總結。
一、期望（Expected Value）
期望是隨機變量在所有可能取值上的加權平均，權重為對應的概率。
| 隨機變量類型 | 公式 | 說明 |
| 離散型隨機變量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) $ | $ x_i $ 是第 $ i $ 個可能的取值，$ P(x_i) $ 是其對應的概率 |
| 連續型隨機變量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | $ f(x) $ 是概率密度函數 |
二、方差（Variance）
方差表示隨機變量與其期望之間的差異程度，數值越大，說明數據越分散。
| 隨機變量類型 | 公式 | 說明 |
| 離散型隨機變量 | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(x_i) $ | 表示每個取值與期望的平方差的期望 |
| 連續型隨機變量 | $ \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx $ | 同理，基于概率密度函數計算 |
| 方差簡化公式 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 更便于計算，尤其在已知期望和期望的平方時使用 |
三、常見分布的期望與方差
以下是一些常見概率分布的期望與方差公式：
| 分布名稱 | 概率質量/密度函數 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k},\ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二項分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均勻分布（連續） | $ f(x) = \frac{1}{b-a},\ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正態分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指數分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、性質與應用
- 線性性質：對任意常數 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $，$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $
- 獨立變量：若 $ X $ 和 $ Y $ 獨立，則 $ E(XY) = E(X)E(Y) $，$ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $
這些公式在統計分析、金融建模、機器學習等領域具有廣泛應用，是理解隨機現象的基礎工具。
通過掌握這些基本概念和公式，可以更有效地進行數據分析與建模工作。
