【期望與方差公式】在概率論與統計學中，期望和方差是描述隨機變量基本特征的兩個重要概念。期望反映了隨機變量的平均值，而方差則衡量了隨機變量與其期望之間的偏離程度。以下是對這兩個概念及其公式的總結。
一、期望（Expected Value）
期望是隨機變量在所有可能結果中加權平均的值，表示長期試驗中隨機變量的平均表現。其計算方式取決于隨機變量是離散型還是連續型。
1. 離散型隨機變量的期望
設隨機變量 $ X $ 的取值為 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，對應的概率分別為 $ P(X = x_i) = p_i $，則期望為：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 連續型隨機變量的期望
若隨機變量 $ X $ 的概率密度函數為 $ f(x) $，則期望為：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是隨機變量與其期望之間的偏離程度，即數據的分散程度。方差越大，說明數據越分散；反之則越集中。
1. 方差的基本定義
對于隨機變量 $ X $，其方差定義為：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通過展開公式簡化為：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 離散型隨機變量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 連續型隨機變量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常見分布的期望與方差
| 分布名稱 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二項分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均勻分布 $ U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正態分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、性質與應用
- 線性性：對于任意常數 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $
- 方差的線性性質：$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $
- 獨立變量的方差：若 $ X $ 與 $ Y $ 獨立，則 $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $
五、總結
期望和方差是概率統計中不可或缺的工具，它們幫助我們理解隨機現象的中心趨勢和波動情況。掌握這些公式的推導與應用，有助于更深入地分析實際問題中的不確定性。
| 概念 | 定義 | 公式 |
| 期望 | 隨機變量的平均值 | $ E(X) = \sum x_i p_i $ 或 $ \int x f(x) dx $ |
| 方差 | 隨機變量與期望的偏離程度 | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $ 或 $ E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
通過以上內容，可以對期望與方差的基本概念、計算方法以及常見分布的特性有一個全面的理解。
