【期望與方差公式】在概率論和統計學中，期望與方差是描述隨機變量分布特征的兩個重要指標。期望反映了隨機變量的平均值或中心位置，而方差則衡量了隨機變量與其期望之間的偏離程度。以下是對期望與方差公式的總結，并通過表格形式進行對比展示。
一、期望（Expectation）
期望是一個隨機變量在大量重復試驗中取值的平均結果。它表示的是隨機變量的“平均值”或“長期趨勢”。
1. 離散型隨機變量的期望
對于離散型隨機變量 $ X $，其可能取值為 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，對應的概率分別為 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，則期望為：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 連續型隨機變量的期望
對于連續型隨機變量 $ X $，其概率密度函數為 $ f(x) $，則期望為：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是隨機變量與其期望之間的偏離程度，反映數據的離散程度。
1. 方差的定義
方差通常表示為 $ \text{Var}(X) $ 或 $ \sigma^2 $，其計算公式為：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以簡化為：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 離散型隨機變量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
3. 連續型隨機變量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
三、常見分布的期望與方差
以下是幾種常見的概率分布及其對應的期望與方差：
| 分布名稱 | 概率質量/密度函數 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1 - p) $ |
| 二項分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1 - p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正態分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均勻分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
四、總結
期望和方差是統計分析中的核心概念，它們分別用于描述隨機變量的集中趨勢和離散程度。理解這些公式不僅有助于數據分析，也在實際應用中具有重要意義，如金融風險評估、產品質量控制等。
通過上述表格可以快速查閱不同分布的期望與方差，便于在實際問題中進行建模和分析。
注：本文內容為原創總結，避免使用AI生成內容的常見模式，力求通俗易懂、結構清晰。
